Bonjour de Sougueur -

Quelle la différence entre rechercher et chercher?

Vous cherchez quelqu'un?
Qu'est-ce que vous-recherchez?
Je vais les rechercher sur internet.

Les trois phrases,sont-elles correctes?

réponse :

On CHERCHE quelque chose dont on a besoin, mais qui n'existe peut-être pas. On va probablement finir par le trouver assez vite, et si on ne le trouve pas, ce n'est pas dramatique.
On RECHERCHE de façon méthodique, souvent à plusieurs, en groupe, en équipe, quelque chose qui existe mais qui est difficile à trouver, qui a été perdu, qui est dangereux, qu'il est très important de trouver ou de retrouver.
Le nom féminin RECHERCHE servant de dérivé aux deux verbes, c'est par une syntaxe différente que se fait la répartition sémantique :
- pour chercher on dit : être à la recherche de quelque chose,
- alors que pour rechercher on dit : faire des recherches (police) ou faire de la recherche (sciences)

NB C'est peut-être un peu sommaire comme explication. Pour plus de détails, je renvoie les curieux à un chapitre détaillé sur cette question dans le Dictionnaire du français usuel, article "CHERCHER et RECHERCHER".